LeetCode中不同路径题解-java

题目

62. 不同路径

难度中等782

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

提示：

1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 10 ^ 9

题解

方法一：组合数

思路

从左上角到右下角的过程中，我们需要移动 m+n−2 次，其中有 m−1 次向下移动，n−1 次向右移动。因此路径的总数，就等于从 m+n−2 次移动中选择 m−1 次向下移动的方案数，即组合数：

代码实现

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        // 思路：从左上角到右下角的过程中，需要移动m + n -2次，其中m-1次向下移动，n-1次向右移动
        // 因此路径的总数，就等于m+n-2次移动过程中m-1次向下移动的方案书，即组合数
        long ans=1;
        for(int i=0;i<Math.min(m-1,n-1);i++){            
            ans*=m+n-2-i;
            ans/=i+1;           
        }
        return (int)ans;
    }
}

复杂度分析

时间复杂度：O(m)。由于我们交换行列的值并不会对答案产生影响，因此我们总可以通过交换 m 和 n 使得m≤n，这样空间复杂度降低至O(min(m,n))。

空间复杂度：O(1)。

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方法二：动态规划

思路

f(i,j)代表从左上角走到(i,j)的路径数量，由于我们每一步只能从向下或者向右移动一步，因此要想走到 (i,j)，如果向下走一步，那么会从 (i−1,j) 走过来；如果向右走一步，那么会从 (i,j−1) 走过来。因此我们可以写出动态规划转移方程：f(i, j) = f(i-1, j) + f(i, j - 1)，

边界条件及初始值： f(i, 0) = 1; f(0,j) = 1

最终的答案即为 f(m−1,n−1)。

代码实现

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        // 方法一：动态规划
        // 思路：f(i,j)代表从左上角走到(i,j)的路径数量，所以得出
        // 动态规划转移方程：f(i, j) = f(i-1, j) + f(i, j - 1)
        //  边界条件及初始值： f(i, 0) = 1; f(0,j) = 1
        // 新建一个二维数组f, 用来存放每个位置的路径值
        int[][] f = new int[m][n];
        // 递推路径值，当为边界条件时，值为1，不在边界条件时，使用规划方程
        for(int i = 0; i < m; i++){
            for(int j = 0; j < n; j++){
                if(i == 0 || j == 0){
                    f[i][j] = 1;
                }else{
                    f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];
                }
            }
        }
        // 返回右下角到左上角的路径值
        return f[m - 1][n - 1];
    }
}